Το παράδοξο του Ράσελ
Ως γνωστόν, τα μαθηματικά είναι η επιστήμη που προσπαθεί να αποδείξει τα πάντα μέσα από την λογική. Η λογική όμως ξεκινά από κοινά αποδεκτές «αλήθειες», κάτι που έρχεται αντίθετο με την ίδια την φύση των μαθηματικών.Η αναζήτηση της απόλυτης λογικής αλήθειας – Πως οι μαθηματικοί προσπάθησαν να απεμπλακούν από τα αξιώματα
Ενας «πραγματιστής» μαθηματικός θα μπορούσε εύκολα να δεχτεί το γεγονός ότι η επιστήμη του ξεκινά από βασικές αρχές, χτισμένες από την κοινή λογική και όχι αποδεδειγμένες επιστημονικά. Αρχές από τις οποίες «γεννιέται» κάθε τι άλλο που συμπεριλαμβάνεται σε μια μαθηματική θεωρία. Είναι όμως δυνατόν τα μαθηματικά, η επιστήμη της απόδειξης και της λογικής, να στηρίζονται σε κάτι το αναπόδεικτο;
Οι πιο ανήσυχοι μαθηματικοί, γύρω στο τέλος του 19ου αιώνα, ξεκίνησαν μια προσπάθεια να εξηγήσουν τα πάντα μέσω της λογικής, θέλοντας να ξεφύγουν από οποιαδήποτε παραδοχή. Κάπως έτσι δημιουργήθηκε ο κλάδος της Μαθηματικής Λογικής. Ακόμα και εκεί όμως, έπρεπε να οριστούν κάποια αξιώματα, ώστε να οικοδομηθεί η θεωρία.
Οι προβληματισμοί των μαθηματικών της εποχής δίχασαν την επιστημονική κοινότητα. Πολλοί μαθηματικοί θεώρησαν πλήρως ανούσιες τις προσπάθειες των συναδέρφων τους να… φιλοσοφήσουν τα μαθηματικά. Την ίδια ώρα, οι «στοχαστές» δεν έβλεπαν φως στο τούνελ της μαθηματικής λογικής. Κάθε προσπάθεια τους κατέληγε ανεπιτυχής. Οσο και να εμβάθυναν στην μαθηματική λογική, κατέληγαν σε πιο «λογικά» αξιώματα. Δεν μπορούσαν όμως να απεξαρτηθούν από την ύπαρξη τους.
Κάπου εκεί άρχισαν να γεννιούνται και τα πρώτα σφάλματα της λογικής. Ο άνθρωπος που δημιούργησε το πιο γνωστό λογικό «παράδοξο» ήταν ο Ράσελ. Ενας μαθηματικός που αφιέρωσε όλη του την επιστημονική καριέρα στην αναζήτηση της απόλυτης λογικής. Το παράδοξο του ήρθε να κατεδαφίσει την Θεωρία Συνόλων, που είχε θεμελιωθεί πάνω στην Μαθηματική Λογική.
Το «παράδοξο του κουρέα» και η αυστηρή απόδειξη πως τα μαθηματικά είναι… αναπόδεικτα
Η Θεωρία Συνόλων ξεκίνησε από τις ιδέες του Καντόρ και εξελίχθηκε από αρκετούς μαθηματικούς. Μια βασική ιδέα που θεμελίωνε την θεωρία, ήταν πως κάθε προσδιορίσιμη συλλογή είναι ένα σύνολο. Κάθε σύνολο δηλαδή είναι μια ομάδα αντικειμένων που έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα. Μια πρόταση που ακούγεται αρκετά προφανής.
Ο Ράσελ, μέσω ενός πολύ απλού και συνοπτικού παραδείγματος, ήρθε να αποδείξει πως αυτός ο ορισμός είναι εσφαλμένος. Θεώρησε R το σύνολο των συνόλων που δεν είναι στοιχεία του εαυτού τους. Τι ισχύει όμως για το ίδιο το R; Αν το R άνηκε στο σύνολο, τότε εξ ορισμού δεν θα ήταν στοιχείο του συνόλου. Αν δεν ήταν στοιχείο του συνόλου, τότε θα… ήταν στοιχείο του συνόλου. Με λίγα λόγια, ο Ράσελ δημιούργησε μια συνθήκη ανίκανη να περιγράψει το σύνολο που δημιουργούσε.
Η ιδέα του Ράσελ γίνεται πιο κατανοητή μέσω του παρακάτω παραδείγματος:
«Σε μια πόλη ο κανονισμός λέει πως όλοι οι άνδρες πρέπει να είναι ξυρισμένοι. Σε αυτήν την πόλη υπάρχει μόνο ένας κουρέας, ο οποίος ξυρίζει μόνο αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Ποιος ξυρίζει όμως τον κουρέα;»
Αναλύοντας το πρόβλημα μέσω της Θεωρίας Συνόλων, είναι κατανοητό πως στη χώρα υπάρχει το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται μόνοι τους και το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται στον κουρέα. Ο κουρέας δεν ξυρίζεται μόνος του αφού ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Αλλά ούτε κάποιος άλλος δεν μπορεί να τον ξυρίσει, αφού ο κουρέας ξυρίζει όσους δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Μέσω της ίδιας σκέψης, το σύνολο όλων των συνόλων είναι αδύνατο να οριστεί.
Το παράδοξο του Ράσελ κατέρριψε την δομή της Θεωρίας Συνόλων, διαγράφοντας επίσης την όποια ελπίδα θεμελίωσης των μαθηματικών σε όρους λογικής. Λίγα χρόνια αργότερα, ήρθε ένα θεώρημα για να βάλουν τέλος στα όνειρα των μαθηματικών της λογικής, τραντάζοντας τον κόσμο της επιστήμης. Γνωστό ως το «πρώτο θεώρημα της μη-πληρότητας»
Κάθε επιστημονική θεωρία περιέχει ορισμένες αλήθειες οι οποίες δεν μπορούν να αποδειχτούν βάση της ίδιας της θεωρίας, ήταν το πρώτο αποδεδειγμένο θεώρημα του Γκέντελ που ουσιαστικά αποδεικνύει πως η ύπαρξη των αξιωμάτων είναι υποχρεωτική για την θεμελίωση των θεωριών. Αν το εξετάσουμε λίγο πιο… φιλοσοφικά, το θεώρημα αυτό βάζει ένα φράγμα στην λογική. Εξηγεί πως οποιαδήποτε μαθηματική ανακάλυψη στηρίζεται σε αναπόδεικτες αλήθειες.
Η μη-πληρότητα του Γκέντελ είναι ίσως το πιο «αντιεπιστημονικό» θεώρημα στην ιστορία της επιστήμης. Μια πρόταση που αποδεικνύει πως η ύπαρξη κάθε μαθηματικής θεωρίας βασίζεται στην ίδια την ανθρώπινη διαίσθηση.
Η προσπάθεια των μαθηματικών να αποδείξουν πως η επιστήμη τους είναι από τις ρίζες της θεμελιωμένη, δεν ήταν απόλυτα αποτυχημένη. Μπορεί λοιπόν τα μαθηματικά να ξεκινούν από κοινώς αποδεκτές αλήθειες, αλλά τουλάχιστον οι μαθηματικοί κατάφεραν να αποδείξουν ακόμα και αυτό. Οτι δηλαδή η επιστήμη τους είναι… αποδεδειγμένα αναπόδεικτη.
Οι πιο ανήσυχοι μαθηματικοί, γύρω στο τέλος του 19ου αιώνα, ξεκίνησαν μια προσπάθεια να εξηγήσουν τα πάντα μέσω της λογικής, θέλοντας να ξεφύγουν από οποιαδήποτε παραδοχή. Κάπως έτσι δημιουργήθηκε ο κλάδος της Μαθηματικής Λογικής. Ακόμα και εκεί όμως, έπρεπε να οριστούν κάποια αξιώματα, ώστε να οικοδομηθεί η θεωρία.
Οι προβληματισμοί των μαθηματικών της εποχής δίχασαν την επιστημονική κοινότητα. Πολλοί μαθηματικοί θεώρησαν πλήρως ανούσιες τις προσπάθειες των συναδέρφων τους να… φιλοσοφήσουν τα μαθηματικά. Την ίδια ώρα, οι «στοχαστές» δεν έβλεπαν φως στο τούνελ της μαθηματικής λογικής. Κάθε προσπάθεια τους κατέληγε ανεπιτυχής. Οσο και να εμβάθυναν στην μαθηματική λογική, κατέληγαν σε πιο «λογικά» αξιώματα. Δεν μπορούσαν όμως να απεξαρτηθούν από την ύπαρξη τους.
Κάπου εκεί άρχισαν να γεννιούνται και τα πρώτα σφάλματα της λογικής. Ο άνθρωπος που δημιούργησε το πιο γνωστό λογικό «παράδοξο» ήταν ο Ράσελ. Ενας μαθηματικός που αφιέρωσε όλη του την επιστημονική καριέρα στην αναζήτηση της απόλυτης λογικής. Το παράδοξο του ήρθε να κατεδαφίσει την Θεωρία Συνόλων, που είχε θεμελιωθεί πάνω στην Μαθηματική Λογική.
Το «παράδοξο του κουρέα» και η αυστηρή απόδειξη πως τα μαθηματικά είναι… αναπόδεικτα
Η Θεωρία Συνόλων ξεκίνησε από τις ιδέες του Καντόρ και εξελίχθηκε από αρκετούς μαθηματικούς. Μια βασική ιδέα που θεμελίωνε την θεωρία, ήταν πως κάθε προσδιορίσιμη συλλογή είναι ένα σύνολο. Κάθε σύνολο δηλαδή είναι μια ομάδα αντικειμένων που έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα. Μια πρόταση που ακούγεται αρκετά προφανής.
Ο Ράσελ, μέσω ενός πολύ απλού και συνοπτικού παραδείγματος, ήρθε να αποδείξει πως αυτός ο ορισμός είναι εσφαλμένος. Θεώρησε R το σύνολο των συνόλων που δεν είναι στοιχεία του εαυτού τους. Τι ισχύει όμως για το ίδιο το R; Αν το R άνηκε στο σύνολο, τότε εξ ορισμού δεν θα ήταν στοιχείο του συνόλου. Αν δεν ήταν στοιχείο του συνόλου, τότε θα… ήταν στοιχείο του συνόλου. Με λίγα λόγια, ο Ράσελ δημιούργησε μια συνθήκη ανίκανη να περιγράψει το σύνολο που δημιουργούσε.
Η ιδέα του Ράσελ γίνεται πιο κατανοητή μέσω του παρακάτω παραδείγματος:
«Σε μια πόλη ο κανονισμός λέει πως όλοι οι άνδρες πρέπει να είναι ξυρισμένοι. Σε αυτήν την πόλη υπάρχει μόνο ένας κουρέας, ο οποίος ξυρίζει μόνο αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Ποιος ξυρίζει όμως τον κουρέα;»
Αναλύοντας το πρόβλημα μέσω της Θεωρίας Συνόλων, είναι κατανοητό πως στη χώρα υπάρχει το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται μόνοι τους και το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται στον κουρέα. Ο κουρέας δεν ξυρίζεται μόνος του αφού ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Αλλά ούτε κάποιος άλλος δεν μπορεί να τον ξυρίσει, αφού ο κουρέας ξυρίζει όσους δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Μέσω της ίδιας σκέψης, το σύνολο όλων των συνόλων είναι αδύνατο να οριστεί.
Το παράδοξο του Ράσελ κατέρριψε την δομή της Θεωρίας Συνόλων, διαγράφοντας επίσης την όποια ελπίδα θεμελίωσης των μαθηματικών σε όρους λογικής. Λίγα χρόνια αργότερα, ήρθε ένα θεώρημα για να βάλουν τέλος στα όνειρα των μαθηματικών της λογικής, τραντάζοντας τον κόσμο της επιστήμης. Γνωστό ως το «πρώτο θεώρημα της μη-πληρότητας»
Κάθε επιστημονική θεωρία περιέχει ορισμένες αλήθειες οι οποίες δεν μπορούν να αποδειχτούν βάση της ίδιας της θεωρίας, ήταν το πρώτο αποδεδειγμένο θεώρημα του Γκέντελ που ουσιαστικά αποδεικνύει πως η ύπαρξη των αξιωμάτων είναι υποχρεωτική για την θεμελίωση των θεωριών. Αν το εξετάσουμε λίγο πιο… φιλοσοφικά, το θεώρημα αυτό βάζει ένα φράγμα στην λογική. Εξηγεί πως οποιαδήποτε μαθηματική ανακάλυψη στηρίζεται σε αναπόδεικτες αλήθειες.
Η μη-πληρότητα του Γκέντελ είναι ίσως το πιο «αντιεπιστημονικό» θεώρημα στην ιστορία της επιστήμης. Μια πρόταση που αποδεικνύει πως η ύπαρξη κάθε μαθηματικής θεωρίας βασίζεται στην ίδια την ανθρώπινη διαίσθηση.
Η προσπάθεια των μαθηματικών να αποδείξουν πως η επιστήμη τους είναι από τις ρίζες της θεμελιωμένη, δεν ήταν απόλυτα αποτυχημένη. Μπορεί λοιπόν τα μαθηματικά να ξεκινούν από κοινώς αποδεκτές αλήθειες, αλλά τουλάχιστον οι μαθηματικοί κατάφεραν να αποδείξουν ακόμα και αυτό. Οτι δηλαδή η επιστήμη τους είναι… αποδεδειγμένα αναπόδεικτη.
Ένα βήμα πιο κοντά στην αποίκιση του «κόκκινου» πλανήτη με ένα ειδικό πυρηνικό αντιδραστήρα
Η NASA έχει βάλει στόχο να στείλει ανθρώπους στον Αρη ήδη από το 2010, πριν ακόμα ανακοινωθεί ότι στον πλανήτη υπάρχει νερό. Την ίδια στιγμή ο Ελον Μασκ, μια από τις πιο πολυσυζητημένες προσωπικότητες στις ΗΠΑ, έχει δηλώσει τις προθέσεις του να ηγηθεί στην προσπάθεια αποίκισης του κόκκινου πλανήτη. Μάλιστα σύμφωνα με τα τελευταία δεδομένα φαίνεται πως το πλάνο του δισεκατομμυριούχου ιδρυτή της SpaceX βρίσκεται ένα βήμα μπροστά από αυτό της NASA. Στόχος του Μασκ είναι ο άνθρωπος να πατήσει στον Άρη πριν από το 2030. Εάν αυτό πραγματοποιηθεί, τότε θα μπορούμε να μιλάμε ίσως για το σημαντικότερο γεγονός του αιώνα. Το οποίο μάλιστα δεν θα έχει επιτευχθεί από μια εθνική υπηρεσία, όπως η NASA, αλλά από έναν ιδιώτη! Σε κάθε περίπτωση όμως, το αμετάκλητο δεδομένο είναι πως ο άνθρωπος όχι μόνο θα πατήσει σε άλλο πλανήτη για πρώτη φορά, αλλά θα πάει εκεί για να… μείνει. Πώς θα αντέξει όμως ο άνθρωπος χωρίς τις ευνοϊκές συνθήκες του «σπιτιού» του;
Οι τρεις βασικές ανάγκες για την αποίκιση του Αρη
Πάνω στη Γη έχουμε το… προνόμιο να ανοίγουμε την βρύση και να τρέχει νερό, να πηγαίνουμε στο σούπερμαρκετ και να αγοράζουμε ο,τι θέλουμε, να πατάμε ένα διακόπτη και να έχουμε φως. Στον Αρη, προφανώς, οι συνθήκες θα είναι πιο δυσμενείς. Στην νέα σελίδα που ανοίγει, ο άνθρωπος θα κληθεί να αντιμετωπίσει προβλήματα που είχε ξεχάσει εδώ και αιώνες. Παρόλα αυτά, κάπως πρέπει να εξασφαλιστούν τα βασικά αγαθά, αλλιώς η όποια προσπάθεια αποίκισης θα έχει τραγική κατάληξη.
Οι επιστήμονες έχουν ήδη αρχίσει έρευνες για να βρουν τις καλλιέργειες που μπορεί να φιλοξενήσει ο γειτονικός μας πλανήτης. Τα αποτελέσματα ως τώρα εμφανίζονται θετικά. Μπορεί οι πρώτοι άνθρωποι στον Αρη να μην έχουν μεγάλη διατροφική ποικιλία, αλλά θα μπορούν να αυτοσυντηρηθούν. Μάλιστα μετά τις πρώτες δεκαετίες αποκλειστικής χορτοφαγίας, δεν φαντάζει απίθανο το ενδεχόμενο οι άνθρωποι να μεταφέρουν και άλλα είδη στον Αρη. Το πρόβλημα της διατροφής φαίνεται πως δεν «δένει» τα χέρια των επιστημόνων.
Οπως και το πρόβλημα του νερού. Γνωρίζουμε πως υπάρχει νερό στον Αρη. Φυσικά, δεν υπάρχουν ωκεανοί, θάλασσες και ποταμοί, αλλά με τις κατάλληλες μεθόδους και με εξελιγμένη τεχνολογία θα μπορέσουν οι αστροναύτες να βρουν νερό στα υπόγεια, παγωμένα αποθέματα του πλανήτη. Φυσικά, μέχρι να σταθεροποιηθεί η κατάσταση, θα υπάρχουν συχνές αποστολές που θα μεταφέρουν τα απαραίτητα στον πλανήτη. Αν δεχτούμε πως στο ζήτημα του νερού οι επιστήμονες έχουν βρει την απάντηση, τότε μένει μόλις η τρίτη βασική ανάγκη για την εξασφάλιση της σταθερότητας στον πλανήτη. Η ενέργεια.
Η ενέργεια είναι εξίσου σημαντική για την βιωσιμότητα της αποικίας στον Αρη. Υπεύθυνη για την θέρμανση, τον φωτισμό, την ψύξη αλλά και για την «ζωή» των ηλεκτρικών συσκευών, των μηχανημάτων μεταφοράς και κάθε είδους αυτοματισμού, η ενέργεια αποτελεί βασική ανάγκη του ανθρώπου.
Πώς θα δώσουμε ενέργεια στον Άρη; – Η τεχνική που μπορεί να λύσει το πρόβλημα
Στην Γη έχουμε βρει μια, έστω και προσωρινή, λύση στα ορυκτά καύσιμα. Κάρβουνο, πετρέλαιο και φυσικό αέριο «κινούν» την Γη τους τελευταίους αιώνες. Τίποτα από αυτά όμως δεν είναι διαθέσιμο στον Άρη, την ώρα που η ενεργειακές ανάγκες μακριά από την Γη είναι ακόμα μεγαλύτερες! Εδώ οι επιστήμονες βρίσκουν το μεγαλύτερο τους εμπόδιο. Πάνω από το 80% της ενέργειας στην Γη προέρχεται από ορυκτά καύσιμα. Για τον Αρη όμως θα πρέπει να στραφούμε στις ανανεώσιμες πηγές και στην πυρηνική ενέργεια.
Η στροφή σε εναλλακτικές ενεργειακές πηγές φυσικά θα ωφελήσει διπλά την ανθρωπότητα. Πέρα από το πλάνο αποίκισης, στο μυαλό των επιστημόνων υπάρχει και ο δικός μας πλανήτης. Αν συνεχίσουμε στο ίδιο μοτίβο, είναι μαθηματικά βέβαιο πως θα έρθει σύντομα η στιγμή που θα… στερέψουμε από ενέργεια. Η ανάγκη για πιο «ανεπτυγμένες» πηγές ενέργειας είναι πιο άμεση από ποτέ.
Σε αυτό το πλαίσιο η ιδέα του πρώην προέδρου της Αμερικανικής Αστρονομικής Κοινότητας Frank Shu, μπορεί να αποδειχτεί «επαναστατική». Ο διακεκριμένος αστρονόμος πρότεινε μια σπουδαία ιδέα που αν είναι εφαρμόσιμη, θα λύσει χιλιάδες προβλήματα. Ενα είδος πυρηνικού αντιδραστήρα που είναι φθηνότερος, ασφαλέστερος και πιο αποτελεσματικός από τους σημερινούς.
Ο μηχανισμός παραγωγής πυρηνικής ενέργειας του κ. Shu είναι ένας «αντιδραστήρας δύο ρευστών ‘λιωμένων’ αλάτων». Τα πλήρη στοιχεία για την συγκεκριμένη τεχνική αναφέρονται στο δίπλωμα ευρεσιτεχνίας, αλλά η βασική ιδέα είναι η εξής: Η πρώτη παρτίδα λιωμένου άλατος είναι γεμάτη από μια ένωση θορίου, το οποίο διασπάται τελικά σε ουράνιο όταν τα νετρόνια ‘βομβαρδίζουν’ το μείγμα. Αυτό το ουράνιο πηγαίνει στην δεύτερη παρτίδα των λιωμένων αλάτων για να κυκλοφορήσει στον πυρήνα του αντιδραστήρα. Εκει έρχεται σε σύγκρουση με νετρόνια για να δημιουργηθεί μια αλυσιδωτή σχάση και να παραχθεί ενέργεια.
Το πρώτο πλεονέκτημα αυτού του, ομολογουμένως περίεργου, συστήματος είναι πως έχει την ικανότητα να αυτορυθμίζεται. Αυτό το κάνει πολύ πιο ασφαλές σε σχέση με τα υπάρχοντα. Το δεύτερο πλεονέκτημα είναι πως ο Αρης έχει άφθονο θόριο. Το σύστημα του Shu λοιπόν μπορεί να παρέχει ενέργεια σε σταθερή βάση, σε αντίθεση με άλλες πηγές όπως ο Ηλιος που ανά καιρούς μπορεί να «κρυφτεί» από τις θύελλες σκόνης του πλανήτη.
Βέβαια, κάθε νέα τεχνολογία πρέπει να αποδείξει ότι έχει τη δυνατότητα να λειτουργεί με ασφάλεια, ενώ παράλληλα θα πρέπει να σιγουρευτεί ότι υπερτερεί από τις άλλες, καθιερωμένες επιλογές. Αυτό απαιτεί χρόνο αλλά και πόρους. Ωστόσο φαίνεται πως η ιδέα του κ. Shu είναι ιδιαίτερα ελπιδοφόρα.
Αν το πλάνο του αστρονόμου προχωρήσει, τότε οι νέοι πυρηνικοί αντιδραστήρες θα δοκιμαστούν πρώτα στην Γη, με στόχο να αποτελέσουν τις κύριες ενεργειακές πηγές του Αρη. Αν όλα κυλήσουν βάση σχεδίου, τότε όχι μόνο θα λύσουμε το βασικό πρόβλημα αποίκισης του γειτονικού πλανήτη, αλλά παράλληλα θα έχουμε βρει μια εξαιρετική ενεργειακή πηγή για το «σπίτι» μας!
Δημοσίευση σχολίου